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梯度折射率光纖光學系統之徑向梯度折射率光纖

2011-01-27

                             梯度折射率光纖光學系統之徑向梯度折射率光纖

    梯度折射率光纖根據其折射率分布形式分為三種。第一種是徑向梯度折射率分布，即在光軸的橫截面徑向方向上折射率是變化的，且相對光軸成旋轉對稱變化，因此由徑向梯度折射率材料做成的光纖具有自聚焦作用。第二種是軸向梯度分布，其折射率是沿光軸方向變化的，但在與光軸垂直的橫截面上折射率是均勻的。第三種是球形梯度折射率分布，其折射率是以一點為對稱而變化的，所以等折射率面為一球面。 從上三種形式的梯度折射率光纖, 由于制造上的難度, 目前只能生產第一和第二種，且第一種比第二種容易生產，而第一種又具有聚焦和成像特性，因此往往是人們討論的重點。

一、徑向梯度折射率光纖

光 在二種均勻介質的光滑分界面上傳播時，其折射光遵守折射定律。若有一系列折射率均勻的介質被分成若干層，其折射率分別為n1>n2>n3，光 線在第一種介質中以入射角U1入射在第一和第二種介質的分界面上時將發生折射，折射光在第二和第三、第三和第四…等介質的分界面上時也將發生折射。折射光 線的軸跡為一折線，且折射光線的方向與各層介質的折射率大小有關。當各層介質的厚度趨于零時，折射光線的軌跡變成一曲線。

光線在多層介質中的折射

光線在梯度折射率介質中的折射

梯度折射率光纖中的光線傳播

      若介質是以光軸處的折射率更高，沿截面徑向方向的折射率逐漸減小而做成的光纖。圖中的Z軸坐標與光纖光 軸重合，r表示光纖的徑向坐標。若有一光線入射在光纖端面的光軸處O點，其入射角 大小為U0，折射曲線在O點的切線與Z軸的夾角為U0'，根據折射定律有
n(0)為光纖光軸處的折射率。

根據上述分析，在徑向梯度折射率光纖中連續運用折射定律可得

式中，U'為軌跡曲線上任意一點P的切線與Z軸的夾角。因為隨著r的增大，n(r)越來越小，U'角一定會越來越小。若r=R時，U'=0，則表示光線的軌跡在此處為拐點，曲線開始向下彎曲，可得

n(R)表示r=R處的折射率。

上式說明徑向梯度折率光纖子午光線的數值孔徑n0sinU0與n(0)和n(R)有關。

根據上面的討論，徑向梯度折射率光纖中光線的傳播軌跡與折射率分布n(r)有關。根據費馬原理，光線在介質中傳播時，光線是沿著光程為極值的路徑傳播的，所以有

式中，ds為距離光軸為r處的光線元長度，積分域為一個周期。以任意角度入射的子午光線在徑向梯度折射率光纖中傳播一個周期，不管其光線的軌跡如何變化，它們的光程長度是常數，換言之，任意光線的軸向速度為常數。下面我們來求滿足折射率分布和光線軌跡方程。

可寫成:

說明滿足等光程條件的徑向梯度折射率光纖，其折射率的變化應滿足式積分形式。假定在徑向梯度折射率光纖中，子午光線的軸跡方程為正弦（或余弦）形式，即

式中,L為周期長度。得

得

當Z=0時,所以有

上式說明徑向梯度折射率光纖中近軸子午光線的傳播軌跡為正弦變化時，其折射率的變化近似為拋物線型分布，且近軸子午光線具有聚焦作用。所以徑向梯度折射率光纖又稱為自聚焦光纖。